Übung macht den Meister

In der folgenden Aufgabensammlung findest du Aufgaben zum Themengebiet der quadratischen Funktionen. Hier kannst du das gesamte Thema nochmals üben, um so wieder richtig fit im Themengebiet zu werden.

Die Aufgaben wurden in drei Schwierigkeitskategorien eingeteilt, die mit Sternen gekennzeichnet wurden. Je mehr Sterne eine Aufgabe hat, desto schwieriger ist sie. Bearbeite so viele Aufgaben, bis du mindestens 15 Sterne gesammelt hast. Versuche, aber aus jeder Schwierigkeitsstufe eine Aufgabe zu lösen.

 

Stern

*Aufgabe 1

a) Zeichne die Funktionsgraphen der Funktionen \(f_1(x)={\frac{1}{2}}x^2+x-2\) und \(g_1(x)=2(x-1)^2-2\) in ein geeignetes Koordinatensystem.

b) Die Funktion \(f_1\) wird um drei Einheiten nach rechts und fünf Einheiten nach oben verschoben. Die Funktion \(g_1\) wird an der x-Achse gespiegelt und drei Einheiten nach links verschoben.

Wie lauten die Funktionsgleichungen der verschobenen Funktionen \(f_2\) und \(g_2\)?

 

*Aufgabe 2

a) Überprüfe rechnerisch, ob die vier Punkte \(P_1(-4|8)\), \(P_2(1|3)\), \(P_3(2|14)\) und \(P_4(-1|-8)\) auf einer Parabel liegen.

b) Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel, welche durch die Punkte \(P_1\), \(P_2\) und \(P_3\) verläuft.

 

*Aufgabe 3

Welcher Graph gehört zur Funktionsgleichung \(f(x)=-2x^2+16x-29\)? Begründe deine Entscheidung und bestimme die Funktionsgleichungen der anderen Graphen.

A3

 

*Aufgabe 4

Gegeben ist die quadratische Funktion \(f(x)=-2x^2+40x-192\)

a) Bestimme die Nullstellen und den Scheitelpunkt der Funktion.

b) Der Graph der Funktion \(f\) wird an der x-Achse gespiegelt und anschließend um zwei Einheiten nach links verschoben. Wie lautet die Funktionsgleichung der entstandenen Funktion \(f_2\)?

 

*Aufgabe 5

a) Bestimme die Nullstellen der Funktionen \(f_1(x)=4x^2-2x+8\), \(f_2(x)=2(x-3)^2\) und \(f_3(x)=8x^2-12\)

b)[1] Welchen Einfluss haben die Parameter \(a\) und \(d\) in der Funktionsgleichung \(f(x)=a(x-d)^2+0,1\) auf die Anzahl der Nullstellen?

 

*Aufgabe 6[2]

Ermittle die Koeffizieten \(a_1\) und \(a_2\) so, dass die Funktion \(f(x)={a_2}\cdot{x^2}+{a_1}\cdot{x}+3\) an den Stellen \(x=-1\) und \(x=0,5\) die gleichen Funktionswerte hat wie die Funktion \(g(x)=2x-1\).

 

zwei Sterne

 

**Aufgabe 7[3]

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW hängt bekanntlich von der Geschwindigkeit ab. Durch Messungen wurde der funktionale Zusammenhang ermittelt. Es gilt:

\(K(v)=0,002v^2-0,18v+8,55\) für \(v>40\)

Dabei bedeutet \(K(v)\) der Kraftstoffverbrauch in Liter/100km und \(v\) die Geschwindigkeit in km/h.

a) Bei welcher Geschwindigkeit beträgt der Verbrauch genau 7 Liter auf 100 km?

b) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Kraftstoffverbrauch am geringsten?

 

**Aufgabe 8[4]

Die Funktion \(s(x)={-\frac{1}{30}}\cdot{x^2}+\frac{5}{6}x\) stellt die Höhe eines Fußballschusses in Abhängigkeit von der Entfernung vom Fußballspieler dar, der den Ball geschossen hat.

a) Berechne den Ort, an dem der Ball wieder auf dem Boden auftrifft.

b) Das Tor, das der Spieler treffen will, steht 22 Meter entfernt. Berechnen Sie, ob der Ball unterhalb der Querlatte ins Tor fliegt (Der Abstand vom Boden bis zur Unterkante der Latte ist 2,44 Meter).

 

**Aufgabe 9 [5]

Für eine 18m lange Brücke werden in 2m Abstand Stützpfeiler benötigt. Die Höhe der beiden äußersten Stützpfeiler beträgt 4,5m. Berechne die Länge aller Stützpfeiler.

Brücke

 

**Aufgabe 10[6]

Beim Starten eines Jets werden in den ersten Sekunden folgende zurückgelegte Strecken gemessen:

Wertetabelle_Jet

a) Der Zusammenhang lässt sich mit einer Formel \(y=ax^2\) darstellen. Wie groß ist \(a\)?

b) Nach welcher Zeit sind \(200m\) der Startbahn zurückgelegt?

 

**Aufgabe 11[7]

Die Flugbahn zweier Bienen hat die Form einer Parabel. Die Flugbahn von Biene 1 wird durch die Gleichung \(y_1=-0,25x^2+0,36x+0,1\) und die Flugbahn der Biene 2 durch die Gleichung \(y_2=-0,2x^2+0,27x+0,1\) beschrieben.

a) Welche Biene fliegt höher?

b) Wie weit fliegen die einzelnen Bienen?

 

**Aufgabe 12[8]

Greta steht im Schwimmbad auf dem \(5m\)-Brett. Durch die Funktion \(h(t)=-5t^2+5\) (\(h\) in \(m\), \(t\) in \(s\)) kann man Gretas Höhe in Abhängigkeit von der Zeit berechnen.

a) Wo befindet sich Greta zum Zeitpunkt 0 Sekunden, wo nach 2 Zehntelsekunden?

b) Wie lange dauert es, bis Greta ins Wasser eintaucht?

 

drei Sterne

 

***Aufgabe 13[9]

Tennisspieler trainieren häufig mit einer Ballwurfmaschine. Die hier beschriebene befindet sich in der einen Hälfte eines insgesamt \(24m\) langen Tennisfeldes und schießt aus einer Höhe von \(1m\) Tennisbälle so in die andere Feldhälfte, dass die Bälle in einer Höhe von \(1,3m\) das Netz überqueren.

a) Wo muss die Ballmaschine aufgestellt werden, damit die Tennisbälle \(0,5m\) vor der Grundlinie in der anderen Feldhälfte auf den Boden treffen, wenn sich der Ball beim Überqueren des Netzes im Scheitelpunkt der parabelförmigen Flugbahn befindet?

b) In welches Höhe muss ein Tennisspieler den Ball treffen, wenn er \(2m\) vor dem Netz steht?

 

***Aufgabe 14

Christian behauptet: „Wenn bei einer quadratischen Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) die Werte von \(a\) und \(c\) verschiedene Vorzeichen besitzen, dann hat die Funktion sicher zwei Nullstellen.“

Hat er recht? Begründe.

 

***Aufgabe 15[10]

Gegeben ist ein Quadrat \(ABCD\) mit \(\overline{AB}=10\). Von den vier Ecken aus werden jeweils Strecken \(x\) abgetragen, sodass neue Quadrate \(EFGH\) entstehen. Es gilt: \(\overline{AE}=\overline{BF}=\overline{CG}=\overline{DH}=x\)

QuadratA15

a) Bestimme den Flächeninhalt des Quadrates \(EFGH\) in Abhängigkeit von x.

b) Berechne die Seite des kleinsten Quadrates. Gib den minimalsten Flächeinhalt an.

 

***Aufgabe 16[11]

Gegeben ist die Parabelschar \(f_k(x)=x^2-7x+k\) mit dem reellen Parameter \(k\), der eine Verschiebung der Parabel nach oben bewirkt.

a) Für welche \(k\) hat die Parabel keine, eine, zwei Nullstellen?

b) Nun sei \(k=12,25\), und es werden Geraden mit Steigung \(-2\) und y-Achsenabschnitt \(t\) als Parameter betrachtet. Wie müsste man den Wert \(t\) wählen, damit die Gerade \(y=-2x+t\) die Parabel mit \(k=12,25\) berührt, also genau einen gemeinsamen Punkt mit ihr hat?

 

***Aufgabe 17[12]

Gateway

Das Wahrzeichen der Stadt St. Louis ist der Gateway Arch, ein \(192m\) großer Bogen, der von Eero Saarinen gestaltet wurde. Der parabelförmige Bogen kann durch die Gleichung \(f(x)=-0,0208x^2+192\) beschrieben werden.

a) Wie breit ist der Bogen am Boden?

b) Während einer Flugshow möchte ein Flugzeug unter dem Bogen hindurch fliegen. Passt das Flugzeug mit einer Spannweite von \(20m\) in einer Höhe von \(100m\) hindurch, wenn es einen Sicherheitsabstand von \(10m\) zum Bogen einhalten muss?

c) Welche maximale Flughöhe muss der Pilot mit den Sicherheitsbestimmungen einhalten?

 

**Aufgabe 18[13]

Nebenstehend ist der Verlauf \(f(x)={-\frac{1}{2}}\cdot{x}+5\) einer Straße gezeichnet. Welcher Punkt auf der Geraden hat zum Ursprung die kürzeste Entfernung und wie groß ist diese?

Aufgabe15