Archiv der Kategorie: Quadratische Funktionen

Wie kann ich Nullstellen quadratischer Funktionen bestimmen?

In diesem Beitrag wird dir erklärt, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion hat und wie man sie berechnen kann. Dazu findest du hier zwei Abschnitte. Im ersten wird erklärt, wieviele Nullstellen eine quadratische Funktion hat und im zweiten wird auf die Lösung quadratischer Gleichungen mit Hilfe der p-q- bzw. abc-Formel eingegangen, mit deren Hilfe du Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen kannst.

 

Ein kleiner Input

Nullstellen sind wichtige Punkte einer Funktion. Sie spielen vor allem in Anwendungsbeispielen eine bedeutende Rolle, da sie markante Punkte markieren. Wird beispielsweise das Werfen eines Balls mittels einer quadratischen Funktion modelliert, markiert eine der Nullstellen den Punkt, an welchem er auf dem Boden aufkommt. Wird eine Brücke mithilfe einer quadratischen Funktion modelliert kennzeichnet sie den Punkt, an dem die Brücke den Boden berührt.

 

Eine Nullstelle beschreibt die Stelle, an der der Funktionswert den Wer Null einnimmt. Daher kannst du sie berechnen, wenn du die Gleichung \(f(x)=ax^2+bx+c=0\) nach x löst. Um diese Gleichung zu lösen, gibt es zwei Formeln, die p-q- und die abc-Formel (sie wird oft auch als Mitternachtsformel bezeichnet). Welche man verwendet ist egal, da sie beide zum selben Ergebniss führen. Du kannst dir deshalb aussuchen, welche dir besser gefällt oder welche du bereits aus der Schule kennst.

Sowohl bei der p-q- als auch bei der abc-Formel, findest du zunächst einen Ausklapptext, der die Herleitung dieser Formel erklärt. Hier kannst du lernen, woher die Formel kommt und wieso ihre Anwendung eigentlich funktioniert. Daraufhin findet du jeweils drei Ausklapptexte, die die Anwendung der Formel an verschiedenen Beispielen erklären, darunter ein You-Tube-Video zur selben Thematik. Suche dir die Erklärungsform aus, die dir besser gefällt.

 

Berechnung der Nullstelle(n) einer quadratischen Funktion mit Hilfe der p-q-Formel:

 

Erklärungstexte

Drei verschiedene Beispiele zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen findest du hinter den folgenden Ausklapptexten:

 

Erklärungsvideos

Und noch ein Mathesong, um die Formel als Ohrwurm nie wieder zu vergessen:

 

Berechnung der Nullstelle(n) einer quadratischen Funktion mit Hilfe der abc-Formel:

 

Erklärungstexte

Drei verschiedene Beispiele zur Berechnung von Nullstellen quadratischer Funktionen findest du hinter den folgenden Ausklapptexten:

 

Erklärungsvideos

Und noch ein Mathesong, um die Formel als Ohrwurm nie wieder zu vergessen:

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Das Wichtigste

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens zwei der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie kann ich aus einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung erstellen und umgekehrt?

Im Folgenden kannst du lernen, wie man aus einer Funktionsgleichung eine Wertetabelle und wie man aus einer Wertetabelle eine Funktionsgleichung erstellen kann. Zu letzterem steht euch sowohl ein Erklärungstext als auch ein You-Tube Video zur Verfügung. Such dir eine Eklärungsform aus.

 

Ein kleiner Input

Eine Wertetabelle gibt dir einen direkten Überblick über einige Punkte der Funktion. Doch häufig sind auch Werte außerhalb der Wertetabelle interessant. Daher kann es von Vorteil sein, die Funktionsgleichung der Funktion anhand der Wertetabelle zu bestimmen. Mit der Funktionsgleichung können dann zum Beispiel weitere, in der Wertetabelle nicht erfasste, Punkte bestimmt werden.

 

 

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Das Wichtigste

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens zwei der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik „Übung macht den Meister“ hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie kann ich aus einer Wertetabelle einen Graphen erstellen und umgekehrt?

Hier findet ihr Erklärungen, wie aus einer Wertetabelle ein Funktionsgraph und wie aus einem Funktionsgraph eine Wertetabelle erstellt wird. Klappe einfach die Abschnitte auf, die dich interessieren.

 

Ein kleiner Input

Oft interessieren uns nur einzelne Punkte einer quadratischen Funktion. In einer Wertetabelle können diese übersichtlich dargestellt werden. Ein Funktionsgraph gibt, auch außerhalb der von der Wertetabelle erfassten Punkte, einen Überblick über den allgemeinen Verlauf der Funktion. Je nach Aufgabenstellung ist es daher sinnvoll zwischen diesen Darstellungsformen zu wechseln.

 

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik „Übung macht den Meister“ hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie kann ich aus einem Graphen die Funktionsgleichung bestimmen und umgekehrt?

Im Folgenden wird erläutert, wie aus der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion der Graph erstellt werden kann und wie aus dem Graphen die Funktionsgleichung gewonnen werden kann.

 

Ein kleiner Input

Ein Funktionsgraph gibt dem Betrachter einen Überblick über den Verlauf der dargestellten Funktionswerte. Dagegen erlaubt die Funktionsgleichung eine konkrete Berechnung des Funktionswertes an beliebigen Stellen. Aus diesem Grund kann es je nach Problemstellung nützlich sein die eine Darstellungsform in die andere zu überführen.

 

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Das Wichtigste

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Was ist ein Scheitelpunkt und wie kann ich ihn bestimmen?

Im folgenden Beitrag wird erklärt, was der Scheitelpunkt einer Parabel ist und wie er an den verschiedenen Darstellungsformen einer quadratischen Funktion bestimmt werden kann.

 

Ein kleiner Input

Der Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion beschreibt die Stelle, an der der Funktionswert den niedrigsten bzw. höchsten Wert annimmt. Damit beschreibt er ein sogenanntes Extremum.

A1

Ist die Parabel nach oben geöffnet, wie die grüne Parabel in der obigen Abbildung, so beschreibt der Scheitelpunkt den Punkt mit dem niedrigsten Funktionswert, einen Tiefpunkt. Ist die Parabel dagegen nach unten geöffnet, wie die blaue Parabel in der obigen Abbildung, so beschreibt der Scheitelpunkt den Punkt mit dem höchsten Funktionswert, einen Hochpunkt.

Die Stelle (bzw. der x-Wert) des Scheitelpunktes oder Extremums nennt man Extremstelle.

Im Folgenden wird nun erläutert, wie der Scheitelpunkt an den verschiedenen Darstellungsformen der quadratischen Funktion bestimmt werden kann. Dabei sind die entsprechenden Erklärungen hier zum Ausklappen hinterlegt.

 

 

Das Wichtigste auf einem Blick

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie kann ich die allgemeine Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform überführen und umgekehrt?

Im Folgenden wird erläutert, wie aus der Scheitelpunktform einer Funktionsgleichung die allgemeine Form erstellt werden kann und wie aus der allgemeinen Form die Scheitelpunktform gewonnen werden kann.

Wahlweise stehen dir hier ausklappbare Erklärungstexte, sowie ein Erklärungsvideo zum Thema „Wie erstelle ich aus der allgemeinen Form der Funktionsgleichung die Scheitelpunktform?“ zur Verfügung. Suche dir eine Erklärungsform aus.

 

Ein kleiner Input

Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion, kann in der allgemeinen Form \(f(x)=ax^2+bx+c\) und in der Scheitelpunktform \(f(x)=a(x-d)^2+e\) dargestellt werden. Beide Schreibweisen bieten ihre Vorteile. So kann anhand der allgemeinen Form beispielsweise direkt der Schnittpunkt mit der y-Achse \(f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c=c\) abgelesen werden. Dagegen können an der Scheitelpunktform die Verschiebungen, ausgehend von der Normalparabel, und der Scheitelpunkt direkt abgelesen werden. Daher kann es oft nützlich sein, die eine Form in die andere zu überführen.

 

Erklärungstexte

 

Erklärungsvideos

 

Erklärung eines weiteren Beispiels

 

Das Wichtigste auf einem Blick

 

Eine erste Übung

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Die Symmetrieeigenschaft einer Parabel

Ein kleiner Input

Die Symmetrieeigenschaft einer quadratischen Funktion kann oft zur Lösung von Problemen benutzt werden. Durch sie können wir oft Informationen gewinnen, die nicht direkt in einer Aufgabenstellung benannt werden. Beispielsweise können weitere Punkte oder der Verlauf des Graphen mit Hilfe der Symmetrieeigenschaft bestimmt werden und somit kann eine bessere Vorstellung von einer quadratischen Funktion gewonnen werden. Die Symmetrieeigenschaft ist in den verschiedenen Darstellungsformen einer Funktion erkennbar und wird im Folgenden in verschiedenen ausklappbaren Texten thematisiert.

 

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie wirkt sich der Parameter e auf den Graphen der Funktion f(x)=a(x-d)²+e aus?

Ein kleiner Input

Der Funktionsparameter \(e\) einer quadratischen Funktion \(f(x)=a(x-d)^2+e\) erhöht bzw. erniedrigt alle Funktionswerte einer Funktion um den Wert \(e\).

Um herauszufinden, wie sich der Parameter \(e\) auf den Funktionsgraphen auswirkt, betrachten wir als Beispiel die Funktionen \(f(x)={1}\cdot{(x-0)^2}+0=x^2\) und \(g(x)={1}\cdot{x^2}+e\). Die Funktionen \(f\) und \(g\) wurden in ein Koordinatensystem eingezeichnet, wobei \(e\) von \(-2\) bis \(2\) in \(0,5er\) Schritten variiert.

Parameter eWir vergleichen den Graphen der Normalparabel \(f\) mit dem der Funktion \(g\).

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Merkkasten

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Wie wirkt sich der Parameter d auf den Graphen der Funktion f(x)=a(x-d)²+e aus?

Ein kleiner Input

Der Funktionsparameter \(d\) einer quadratischen Funktion \(f(x)=a(x-d)^2+e\) beeinflusst die Form des Funktionsgraphen.

Um herauszufinden, wie sich der Parameter \(d\) auf den Funktionsgraphen auswirkt, betrachten wir als Beispiel die Funktionen \(f(x)={1}\cdot{(x-0)^2}+0=x^2\) und \(g(x)={1}\cdot{(x-d)^2}\). Die Funktionen \(f\) und \(g\) wurden in das folgende Koordinatensystem eingezeichnet, wobei \(d\) von \(-2\) bis \(2\) in \(0,5er\) Schritten variiert.

Parameter d

Wir vergleichen den Graphen der Normalparabel mit dem der Funktion .

 

Das Wichtigste auf einem Blick

Merkkasten

 

Eine erste Übung

Jetzt kannst du selbst aktiv werden. Löse mindestens 2 der folgenden Aufgaben. Falls du das noch nicht hinbekommst, ist das gar nicht schlimm. Schaue dir genau die Musterlösung an. In der Rubrik “Übung macht den Meister” hast du noch mehr Gelegenheit, das Ganze zu üben.

Was bedeuten die Parameter a, d und e der quadratischen Funktion f(x)=a(x-d)²+e?

Um herauszufinden, wie sich eine Veränderung der Parameter \( a, d \) und \( e \) einer quadratischen Funktion \( f(x) = a(x-d)^2+e \) auf den Graphen auswirkt, kannst du diese in der folgenden Simulation variieren.

Aufgabe:

Finde heraus, was eine Veränderung der Parameter \( a, d \) und \( e \) der quadratischen Funktion der Form \(f(x)=a(x-d)^2+d\) bewirkt. Wie sieht die Funktion für positive oder negative bzw. hohe oder niedrige Werte von \( a \) aus? Was passiert bei der Veränderung des Parameters \( d \)? Was passiert bei der Veränderung des Parameters \(e\)?

Probiere es aus! Eine Erklärung findest du hinter den Links.